Porządek w chaosie

Najbliż­sze lata nie­wąt­pli­wie przy­nio­są zmia­ny. Zmia­ny zarów­no w ogól­nym para­dyg­ma­cie myśle­nia jak i w kwe­stiach bar­dziej szcze­gó­ło­wych. Zmia­ny doty­czyć będą wszyst­kich dzie­dzin nauko­wych, nastą­pi rów­nież dale­ko idą­ce zróż­ni­co­wa­nie sfe­ry życia spo­łecz­ne­go, kul­tu­ral­ne­go i poli­tycz­ne­go. Napa­wa to lękiem, bo zmia­ny nio­są poczu­cie nie­sta­bil­no­ści, nie­upo­rząd­ko­wa­nia, jed­nym sło­wem — cha­osu. Jed­nym z roz­wią­zań pro­ble­mu cha­osu, któ­ry się już poja­wił i budzi nie­po­kój, jest nowa teo­ria. Teo­ria, któ­rej zało­że­nia sku­pia­ją się na odkry­wa­niu mate­ma­tycz­ne­go porząd­ku w śro­do­wi­sku chaotycznym.

Począt­ki teo­rii cha­osu się­ga­ją lat sześć­dzie­sią­tych dwu­dzie­ste­go wie­ku, kie­dy to Edward Lorenz, mete­oro­log z Mas­sa­chu­setts Insti­tu­te of Tech­no­lo­gy zaob­ser­wo­wał we wła­snym kom­pu­te­ro­wym mode­lu pogo­do­wym dziw­ne zmia­ny w jego funk­cjo­no­wa­niu za spra­wą jed­ne­go (dodaj­my, że mini­mal­nie oddzia­ło­wu­ją­ce­go) czyn­ni­ka. Lorenz uru­cha­miał symu­la­cję, kom­pu­ter poda­wał pogo­dę dzień za dniem, gro­ma­dzo­ne dane przy­po­mi­na­ły real­ne zmia­ny pogo­dy w pew­nym okre­sie. Któ­re­goś dnia kom­pu­ter nie dokoń­czył serii obli­czeń i Lorenz posta­no­wił je powtó­rzyć ale nie od począt­ku, czy­li od danych wyj­ścio­wych, lecz jako dane wyj­ścio­we przy­jął jed­ne z kolej­nych wcze­śniej­szych wyni­ków. Jak rozu­mo­wał, kom­pu­ter powtó­rzy serię obli­czeń do momen­tu gdzie ostat­nio prze­rwał i będzie je kon­ty­nu­ował do momen­tu okre­ślo­ne­go przez bada­cza. Ku zdzi­wie­niu Loren­za, dru­ga seria obli­czeń po poda­niu kil­ku pierw­szych wyni­ków, zamiast pozo­sta­wać iden­tycz­ną z pierw­szą serią, bar­dzo szyb­ko zaczę­ła się od niej odda­lać w zupeł­nie nie­prze­wi­dy­wal­nym kie­run­ku. Zatem, o ile w pro­gno­zie godzin­nej czyn­nik ten nie zakłó­cał mode­lu w dużym stop­niu, to w ska­li jed­no­dnio­wej zmia­ny były już bar­dzo widocz­ne, nato­miast im dal­sza była pro­gno­za, tym bar­dziej sys­tem sta­wał się nie­upo­rząd­ko­wa­ny. Lorenz zja­wi­sko to nazwał “efek­tem moty­la” (nazwa ta powsta­ła od stwier­dze­nia, że ruch skrzy­deł moty­la w Peki­nie może wywo­łać po pew­nym cza­sie gwał­tow­ną burzę nad Nowym Jor­kiem) i roz­po­czął pra­cę nad pozna­wa­niem tego nie­co­dzien­ne­go zja­wi­ska. Zarów­no Lorenz jak i jego kon­ty­nu­ato­rzy stwier­dzi­li, że mimo efek­tu moty­la model pozo­sta­je sta­bil­ny i prze­wi­dy­wal­ny — jed­nak na zupeł­nie innym pozio­mie. Tak zro­dzi­ła się gałąź mate­ma­ty­ki, któ­ra pró­bo­wa­ła opi­sać powyż­sze zjawiska.

Teo­ria cha­osu wypra­co­wa­ła już wła­sną ter­mi­no­lo­gię, czę­sto zaska­ku­ją­cą dla prze­cięt­ne­go odbior­cy, ponie­waż poja­wia­ją się tam takie sfor­mu­ło­wa­nia jak “bifur­ka­cja”, “frak­tal”, “dywan Sier­piń­skie­go” czy “atrak­tor Loren­za”. Jed­nak, wbrew pozo­rom, jest to teo­ria bar­dzo spój­na i kon­kret­na. Jed­no­cze­śnie jest to gałąź nauki na mia­rę naszych cza­sów, ponie­waż mode­lu­jąc i opi­su­jąc fak­tycz­ne zja­wi­ska (jak burze czy hura­ga­ny) i rze­czy­wi­ste przed­mio­ty (drze­wa, góry), wyma­ga olbrzy­miej mocy obli­cze­nio­wej, któ­rą mogły jej dać jedy­nie naj­bar­dziej zaawan­so­wa­ne tech­no­lo­gicz­nie komputery.

Bifur­ka­cje, jeden z mate­ma­tycz­nych mode­li teo­rii cha­osu, opi­su­ją rady­kal­ne zmia­ny spo­so­bu ist­nie­nia dane­go ukła­du. Przy­kła­dem takiej sytu­acji jest zapa­lo­na zapał­ka rzu­co­na na ściół­kę w lesie. W sytu­acji tej nie wia­do­mo czy zapał­ka zga­śnie, czy też wywo­ła pożar lasu, zmie­nia­jąc go w pogo­rze­li­sko. Innym przy­kła­dem bifur­ka­cji jest tocze­nie się kuli po kra­wę­dzi rów­ni pochy­łej. Wybór jed­ne­go z moż­li­wych kie­run­ków tocze­nia się kuli w dół zale­ży od nie­zau­wa­żal­nych nie­rów­no­ści powierzch­ni, dla­te­go robi wra­że­nie przy­pad­ko­we­go. Wybór dro­gi przez toczą­cą się po kra­wę­dzi pochyl­ni kulę, jest nie tyl­ko przy­pad­ko­wy w sen­sie rachun­ku praw­do­po­do­bień­stwa. Jeste­śmy przy­zwy­cza­je­ni do deter­mi­ni­zmu w myśle­niu i dzia­ła­niu, uwa­ża­my że przy­czy­na zawsze rodzi sku­tek, akcja — reak­cję, a pew­ne pra­wa fizycz­ne są nie­zmien­ne. Patrząc w ten spo­sób dało­by się teo­re­tycz­nie prze­wi­dzieć całą par­tię gry w bilard, ponie­waż pole­ga ona na deter­mi­ni­stycz­nym pra­wie odbi­cia. Jed­nak w prak­ty­ce moż­na prze­wi­dzieć jedy­nie kil­ka sekund par­tii naprzód. Zaczy­na­ją dzia­łać czyn­ni­ki dotych­czas pomi­ja­ne, takie jak nie­rów­no­ści na powierzch­ni bil, źle wypo­zio­mo­wa­ny stół i krzy­wi­zna kija. Zaczy­na dzia­łać teo­ria cha­osu. Począw­szy od Eukli­de­sa, przez Gali­le­usza, a na New­to­nie skoń­czyw­szy, domi­no­wał uprosz­czo­ny model świa­ta opar­ty na linio­wych (posia­da­ją­cych kon­kret­ne roz­wią­za­nie) rów­na­niach mate­ma­tycz­nych. Pierw­sze pro­ble­my poja­wi­ły się w momen­cie odkry­cia duali­zmu kor­pu­sku­lar­no-falo­we­go, pra­wa nie­ozna­czo­no­ści Heisen­ber­ga i oczy­wi­ście teo­rii Alber­ta Ein­ste­ina. Potrzeb­ne były nowe meto­dy okre­śla­nia rze­czy­wi­sto­ści i prze­kła­da­nia jej na język fizy­ki i matematyki.

Dla przy­kła­du spró­buj­my opi­sać górę. Uży­wa­jąc geo­me­trii eukli­de­so­wej mogli­by­śmy stwier­dzić, że jest to trój­kąt. Z dale­ka góra fak­tycz­nie tak wyglą­da, ale zbli­ża­jąc się do niej stwier­dzi­li­by­śmy, że popeł­ni­li­śmy olbrzy­mie uprosz­cze­nie. Przyj­rzaw­szy się z bli­ska jej powierzch­ni z pew­no­ścią doszli­by­śmy do wnio­sku, że bez­błęd­ne opi­sa­nie góry języ­kiem tra­dy­cyj­nej mate­ma­ty­ki jest abso­lut­nie nie­moż­li­we. Teo­ria cha­osu daje narzę­dzia pozwa­la­ją­ce to uczy­nić, two­rzy też zaska­ku­ją­ce tezy, jak na przy­kład zało­że­nie, że dowol­ny frag­ment cało­ści jest nie­mal ide­al­nym odbi­ciem tej­że cało­ści. Wra­ca­jąc do przy­kła­du góry: wyglą­da ona tak samo w cało­ści, w poło­wie, tak samo wyglą­da jej szczyt, a nawet odro­bi­na kwar­cu na samym wierz­chu tego szczy­tu. Podob­nie dzie­je się w przy­pad­ku badań linii brze­go­wych. Nie­za­leż­nie od pozio­mu powięk­sze­nia, zarys linii brze­go­wej będzie iden­tycz­ny. Dobrym przy­kła­dem do ana­li­zy są noto­wa­nia cen baweł­ny w Sta­nach Zjed­no­czo­nych, ponie­waż reje­stru­je się je codzien­nie od ponad stu lat. I co się oka­zu­je? Jed­no­dnio­we waha­nia ceno­we odpo­wia­da­ją waha­niom jed­ne­go mie­sią­ca ale też stu lat! Bio­rąc pod uwa­gę to zało­że­nie może­my przy­jąć, że nasz jeden dzień jest odbi­ciem całe­go nasze­go życia.

Sed­no takie­go sta­nu rze­czy leży w tym, że rze­czy­wi­stość jest “nie­do­kład­na” i “nie­wy­mier­na”. W rze­czy­wi­sto­ści nie ist­nie­je “dokład­ny” kilo­gram, “dokład­ny” metr i zawsze jest “coś” po prze­cin­ku co spra­wia, że w odpo­wied­nio dłu­gim cza­sie zja­wi­ska toczą się w spo­sób nie­prze­wi­dy­wal­ny. Świat bowiem nie jest upo­rząd­ko­wa­ny, a wręcz odwrot­nie: obsy­py­wa­nie się kli­fu nad morzem, wypię­trza­nie gór, wzrost drzew, krą­że­nie Zie­mi wokół Słoń­ca, czy rak skó­ry są pro­ce­sa­mi rzą­dzą­cy­mi się się pra­wa­mi dyna­mi­ki nie­li­nio­wej, pra­wa­mi uży­wa­ny­mi w ramach wyja­śnień budo­wa­nych w teo­rii cha­osu. Jak już wspo­mnia­łem wcze­śniej, nawet małe zmia­ny warun­ków począt­ko­wych powo­du­ją, w odpo­wied­nio dłu­gim cza­sie, nie­prze­wi­dy­wal­ne efek­ty. Jed­na z wie­lu zacho­dzą­cych w orga­ni­zmie muta­cji w ska­li mikro prze­ra­dza się w roz­rost tkan­ki nowo­two­ro­wej widocz­nej w ska­li makro. Nie­znacz­ne odchy­le­nia bie­gu toru Zie­mi wokół Słoń­ca po odpo­wied­nio dłu­gim cza­sie mogą spo­wo­do­wać kata­stro­fę w posta­ci uciecz­ki pla­ne­ty w kosmos lub zde­rze­nia z innym cia­łem niebieskim.

Gra­ficz­ną ilu­stra­cję teo­rii cha­osu sta­no­wią frak­ta­le. Są to zło­żo­ne obiek­ty o nie­skoń­czo­nej licz­bie deta­li. Ich naj­bar­dziej cha­rak­te­ry­stycz­ną cechą jest to, że są nie­skoń­czo­ne, a jed­no­cze­śnie zamy­ka­ją się w skoń­czo­nej figu­rze. Frak­ta­le trój­wy­mia­ro­we, któ­re powsta­ją przez zło­że­nie frak­ta­li dwu­wy­mia­ro­wych posia­da­ją skoń­czo­ną obję­tość, ale nie­skoń­czo­ną powierzch­nię. Za pio­nie­ra bada­czy frak­ta­li uzna­je się powszech­nie uro­dzo­ne­go w Pol­sce fran­cu­skie­go
uczo­ne­go Beno­it Man­del­bro­ta. Naj­bar­dziej cha­rak­te­ry­stycz­ny­mi i pod­sta­wo­wy­mi kształ­ta­mi frak­ta­li są: zbiór Can­to­ra, dywan i trój­kąt Sier­piń­skie­go, krzy­wa Kocha, zbio­ry Man­del­bro­ta i Julii, nato­miast naj­bar­dziej zna­nym frak­ta­lem trój­wy­mia­ro­wym jest kost­ka (zwa­na też gąb­ką) Men­ge­ra. Mode­le przy­po­mi­na­ją­ce frak­ta­le moż­na spo­tkać w przy­ro­dzie, jed­nak z uwa­gi na fakt, że rze­czy­wi­ste przed­mio­ty zbu­do­wa­ne są z ato­mów, a więc nie mogą być nie­skoń­czo­ne, podo­bień­stwo wystę­pu­je jedy­nie na kil­ku pierw­szych pozio­mach. Bar­dzo cie­ka­wym przy­kła­dem są tutaj chmu­ry, ale tak­że układ krwio­no­śny, kwiat kala­fio­ra, krysz­ta­ły lodu, osa­dza­ją­ca się rdza, czy pla­ma ropy na powierzch­ni wody.

Teo­ria cha­osu to nie tyl­ko czy­sto mate­ma­tycz­na abs­trak­cja. Odno­sząc się do ist­nie­ją­cych zja­wisk fizycz­nych teo­ria ta impli­ku­je roz­wa­ża­nia filo­zo­ficz­ne i socjo­lo­gicz­ne. Czym bowiem jest pró­ba opi­sa­nia np. dyna­mi­ki tłu­mu, jeśli nie za pomo­cą rów­nań nie­li­nio­wych? Teo­rię cha­osu wyko­rzy­stu­je się zarów­no do opra­co­wy­wa­nia opty­mal­nych mode­li prze­pły­wu prą­du, kom­pre­sji danych, jak i do badań histo­rycz­nych czy opi­sy­wa­nia zagad­nień z zakre­su onto­lo­gii. Przy­kła­dów zasto­so­wa­nia w roz­ma­itych dzie­dzi­nach nasze­go życia jest bar­dzo wie­le. Cha­os opi­su­je rytm nasze­go ser­ca, nie­któ­rzy naukow­cy sądzą, że cha­otycz­nym sys­te­mem jest rów­nież łań­cuch DNA.

Cie­ka­we efek­ty daje wyko­rzy­sta­nie teo­rii cha­osu w muzy­ce. Dia­na S. Dab­by, stu­dent­ka inży­nie­rii na Mas­sa­chu­setts Insti­tu­te of Tech­no­lo­gy, wyko­rzy­sta­ła atrak­tor Loren­za stwo­rze­nia muzycz­nych waria­cji. Przy­po­rząd­ko­wa­ła poszcze­gól­nym nutom Pre­lu­dium C‑dur Johan­na Seba­stia­na Bacha koor­dy­na­ty war­to­ści x w atrak­to­rze Loren­za i w ten spo­sób stwo­rzy­ła cha­otycz­ne waria­cje opar­te na tak zmon­to­wa­nym mate­ria­le muzycz­nym. Wie­lu muzy­ków uwa­ża, że utwo­ry “skom­po­no­wa­ne” w ten spo­sób są bar­dzo pra­wi­dło­wo skon­stru­owa­ne pod wzglę­dem for­mal­nym i bar­dzo inte­re­su­ją­ce estetycznie.

Cha­os w dal­szym cią­gu żywo inte­re­su­je zarów­no mate­ma­ty­ków jak i fizy­ków, ponie­waż wciąż poja­wia­ją się nowe nie­wia­do­me i wie­le jesz­cze w tej teo­rii pozo­sta­ło do odkry­cia. Powszech­nie uwa­ża się, że dwu­dzie­sty pierw­szy wiek będzie wie­kiem trzech teo­rii: rela­ty­wi­zmu, mecha­ni­ki kwan­to­wej i cha­osu. Aspek­ty cha­osu widocz­ne są na każ­dym kro­ku: od pły­wów oce­anicz­nych, przez zawi­ro­wa­nia krwio­obie­gu, struk­tu­rę gałę­zi drzew, aż po efekt tur­bu­len­cji. Teo­ria cha­osu zdo­by­ła bar­dzo wyso­ką pozy­cję we współ­cze­snej nauce i w mia­rę prze­ista­cza­nia się z nie­wiel­kiej tezy opra­co­wa­nej przez grup­kę zapa­leń­ców do peł­no­praw­nej dzie­dzi­ny nauko­wej zdo­by­wa­ła coraz więk­szą popu­lar­ność tak­że wśród osób nie­zwią­za­nych pro­fe­sjo­nal­nie z nauką. Teo­ria cha­osu zmie­ni­ła też spo­sób patrze­nia na bada­nia nauko­we. W oczach spo­łe­czeń­stwa fizy­ka nie jest już tyl­ko bada­niem sub­a­to­mo­wych struk­tur w kosz­tow­nych akce­le­ra­to­rach, ale przede wszyst­kim odkry­wa­niem sys­te­mów cha­otycz­nych i spo­so­bu ich działania.